卷二十一(2/7)

首发：~卷二十一

姑洗縱黍律長七寸二分二釐五毫四絲二忽

仲呂横黍度長七寸四分九釐一毫五絲三忽

仲呂縱黍律長六寸六分六釐一毫一絲六忽

蕤賓横黍度長七寸○七釐一毫○六忽

蕤賓縱黍律長六寸三分二釐四毫二絲八忽

林鍾横黍度長六寸六分七釐四毫一絲九忽

林鍾縱黍律長六寸○○四毫八絲四忽

夷則横黍度長六寸二分九釐九毫六絲

夷則縱黍律長五寸六分○二毫一絲四忽

南呂横黍度長五寸九分四釐六毫○三忽

南呂縱黍律長五寸三分一釐四毫一絲六忽

無射横黍度長五寸六分一釐二毫三絲一忽

無射縱黍律長五寸○四釐一毫二絲一忽

應鍾横黍度長五寸二分九釐七毫三絲一忽

應鍾縱黍律長四寸六分八釐一毫五絲一忽

右縱黍十二律若要還原依前術用九歸即得横黍度數

密率求方積第四

自乘為平方再乘為立方此筭家所共曉殊不知筭律亦然也平方謂之羃立方謂之積夫羃之名本疏布手巾也古人用覆飲食之器今世所謂舉羃酌酒是也羃形方正縱横有紋筭術自乘其數必方縱横正等有類乎羃故取名謂之羃非真羃也夫積者如筭倉窖中五穀積實耳借立方術以求之者立方所得即是積實之數故也凡筭脩短度數則以十忽為絲十絲為毫十毫為釐十釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈平方之術與此不同乃以百忽為絲百絲為毫百毫為釐百釐為分百分為寸百寸為尺百尺為丈蓋平方者形如方磚東西南北四面皆方假如每面皆方十寸則中積百寸矣是為方一尺也故曰百寸為尺立方之術則又不然乃以千忽為絲千絲為毫千毫為釐千釐為分千分為寸千寸為尺千尺為丈蓋立方者形如方臺上下左右前後六面皆方假如每面皆方十尺則中積千尺矣是為方一丈也故曰千尺為丈平圓立圓其積生於平方立方之術方術未解而欲測圓難矣律孔本圓今欲求圓先求方者數乃無形之物方分實諸圓器之中則無不隨其圓若作圓分則有空隙而不實矣自宋范鎮創以圓分為積此乃臆說非正理也圓分之法在理必無而縱黍之法於理則有假如横黍平方每寸百分縱黍則每寸惟八十一分横黍立方每寸千分縱黍則每寸惟七百二十九分蓋以九為法也求之亦各有術然約十而為九布筭煩瑣無益於事故自此至終篇專以横黍言之不復更求縱黍先儒亦云凡律徑圍之分以十為法者天地之全數也以九為法者不過因三分損益而立耳則圓分之說不能通於圍徑亦可見矣

求十二律積實新法

置黄鍾横黍度長十寸自乘得一百寸倍之得二百寸為實開平方法除之得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五○四進一位命作立方積一百四十一寸四百二十一分三百五十六釐二百三十七毫三百○九絲五百○四忽為實别將律數十二自乘得一百四十四為法除之得黄鍾積實

黃鍾積實九百八十二分○九十二釐七百五十一毫六百四十七絲九百八十二忽

置黃鍾積實在位以十兆乘之為實以十一兆二千二百四十六萬二千○四十八億三千○九十三萬七千二百九十八為法除之得大呂積實餘律皆放此

大呂積實八百七十四分九百四十五釐一百七十三毫五百三十八絲一百○六忽

太蔟積實七百七十九分四百八十七釐五百三十三毫五百四十八絲一百七十五忽

夾鍾積實六百九十四分四百四十四釐四百四十四毫四百四十四絲四百四十四忽

姑洗積實六百一十八分六百七十九釐六百六十五毫三百七十五絲二百三十五忽

仲呂積實五百五十一分一百八十釐○九百二十毫○八百二十二絲二百九十一忽

蕤賓積實四百九十一分○四十六釐三百七十五毫八百二十三絲九百九十一忽

林鍾積實四百三十七分四百七十二釐五百八十六毫七百六十九絲○五十三忽

夷則積實三百八十九分七百四十三釐七百六十六毫七百七十四絲○八十七忽

南呂積實三百四十七分二百二十二釐二百二十二毫二百二十二絲二百二十二忽

無射積實三百○九分三百三十九釐八百三十二毫六百八十七絲六百一十七忽

應鍾積實二百七十五分五百九十釐○四百六十毫○四百一十一絲一百四十五忽

密率求圓羃第五

方者象地圓者法天方圓相求自然真率其數出於河圖雒書而非人所為也河以通乾其數十雒以流坤其數九乾坤交泰互藏其宅故九為地而十為天天包地外地居天内天有四方每方十寸其周為四尺則圓之周率也地有四方每方九寸其弦為一尺二寸七分二釐七毫九絲二忽二微有奇則圓之徑率也周公嘉量之制測圓之術蓋已具焉所謂方尺而圓其外得弦一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纖有奇是名方圓縱率其測圓周徑相求與半九為乘除積徑相求與倍九為乘除半九者四寸五分也倍九者一尺八寸也黄鍾倍半自然之理律度量衡所由生也因而九之即得前率九歸還元復得今率此二法相通也推理而論圓中必容方焉方無形圓有形其方居圓十分之九是故測圓之術必先求其容方而後知其周徑徑求周用弦求勾股之術得其一面之方四因其方而九除之即圓周也周求徑九因其圓而四除之用勾股求弦之術得其兩角之斜即圓徑也此古法之妙歟戰國已來數學失傳至漢張蒼掇拾民間猥淺之法用補黄帝九章後世宗之以為數學根本張丘建夏侯陽孫子五曹復推演之其測方圓乃有直五斜七圍三徑一之說筭家指此名為古率然實非古法也夫直五斜七斜實有餘圍三徑一徑實不足淺陋之士豈能察哉劉歆王蕃祖沖之輩蓋嘗訂正之矣其測圓或以為徑七周二十二或以為徑四十五周一百四十二或以為徑一百一十三周三百五十五雖頗密於徑一圍三要之皆未得自然之理也祖氏製率初意蓋謂圓積一億分則其徑一百一十三尺乃一萬一千三百分周三百五十五尺乃三萬五千五百分試以其法筭之半徑半周相乘得積一億而強二十八萬七千五百分蓋周徑之分太多也號為密率密安在哉天地自然真率及周公方圓總率筭律之士誠不可忽今詳解之其法如左

天地自然真率訣曰

容方九寸　以象雒書　天地自然　豈不妙歟試驗之法用紙大小二幅其方中矩用意比對四面相同小者每面皆方九寸大者皆方一尺三寸置於平處小者在大者上中心定針於小者四角外運規僅容四角絲毫不可多也片紙作寸移量圓周針尖點識恰好四十整寸欲求圓之徑數即是方之斜弦勾股求弦術横方九寸為勾自乘得八十一寸縱方九寸為股自乘得八十一寸併之得一百六十二寸為實開平方法除之得弦一尺二寸七分二釐七毫九絲二忽二微有奇即圓周四尺之徑數也是故以四尺為周率以一尺二寸七分二釐七毫九絲二忽二微有奇為徑率凡平圓以周求徑置周若干為實先以徑率乘之後以周率除之以徑求周置徑若干為實先自相乘又以十寸乘之得數後以徑率除之以積求徑置積若干為實先以徑率乘畢而以十寸除之得數然得開方以周求積置周若干先自相乘進一位為實以徑率乘畢後以周率除二遍以積求周置積若干為實先以周率乘二遍以徑率除畢退一位然後開方訣曰圓周四十容方九勾股求弦數可知遂以此為求徑率求周求積亦如之也

周公方圓總率訣曰

容方十寸　取法河圖　聖人制作　不亦善乎試驗之法同上其紙小者方一尺大者方一尺四寸五分圓周四尺四寸五分四釐四毫四絲四忽四微四纖九分纖之四其内容方一尺勾股皆十寸各自乘併之得二百寸為實開平方法除之得弦一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纖億分纖之二千三百七十三萬○九百五十有奇是為方圓總率凡測圓徑求周者以總率乘徑進一位如四十五而一周求徑者以四十五乘周退一位如總率而一周徑求積者如前求得周徑半周半徑相乘或徑自乘以總率乘之如十八而一積求周徑者以十八乘積如總率而一開方得徑四歸徑為法除積得周夫四十五乃九寸折半之數十八乃黄鍾加倍之律而與方圓總率反復乘除故能盡幽微之理趣極古今之玄妙者矣已上諸條乃捷法也律呂精義所載乃正法也

求十二律面羃新法

置黄鍾積實九百八十二分○九十二釐七百五十一毫六百四十七絲九百八十二忽為實以林鍾横黍度長一百分為法除之得黄鍾面羃

黄鍾面羃九分八十二釐○九毫二十七絲五十一忽置黄鍾面羃在位以十億乘之為實以十億○五千九百四十六萬三千○九十四為法除之得大呂面羃餘律皆放此

大呂面羃九分二十六釐九十七毫二十一絲二十忽太蔟面羃八分七十四釐九十四毫五十一絲七十三忽夾鍾面羃八分五十二釐八十三毫八十二絲七十四忽姑洗面羃七分七十九釐四十八毫七十五絲三十三忽仲呂面羃七分五十五釐七十三毫八十二絲五十九忽蕤賓面羃六分九十四釐四十四毫四十四絲四十四忽林鍾面羃六分五十五釐四十六毫八十二絲七十二忽夷則面羃六分一十八釐六十七毫九十六絲六十五忽南呂面羃五分八十三釐九十五毫五十八絲四十三忽無射面羃五分五十一釐一十八毫○九絲二十忽應鍾面羃五分二十釐○二十四毫五十五絲一十二忽

密率求周徑第六

自冬官一篇亡造律制度不見於經而其支流餘裔則子史傳記尚或有之然古文深奥先儒不曉其義往往臆見增損其語遂使本法支離後之學者苟非聰頴神解豈能自悟也哉試略辨其一二古云黄鍾九寸因而九之九九八十一故黄鍾之數立焉蓋指其縱黍之分而言也律長九寸每寸九分故八十一分而劉歆以為九寸自乘得八十一故黄鍾之實八百一十分夫八十一者是也八百一十者非也此以臆見增其文者也古云黄鍾空圍九分其長之一蓋析其管之長作為九段取其一段之數為其内周而鄭康成以為凡律空圍九分夫黄鍾空圍九分其長之一是也凡律空圍九分非也此以臆見削其文者也蔡邕銅龠銘曰黄鍾九寸空圍九分此說當矣其月令章句曰律雖有大小圍徑無增減又曰然不如耳決之明此乃自知其法之謬亦不盡信之辭也夫十二律管内外各有周徑孔中面羃要之亦各不同而先儒未有定論西晉孟康註漢志曰黄鍾圍九分林鍾圍六分太蔟圍八分此說近是而隋志非之唐及五代趙宋之初諸議律者悉從隋志之說更無異議惟胡瑗造樂審其音不協乃更林鍾已下諸律圍徑各有等差蔡元定却譏之以為律有長短之異圍徑則無不同嗚呼先儒之論參差如此臣初未詳何者為是既而命工依彼圍徑皆同之說制管吹之以審其音林鍾當與黄鍾太蔟相和而不相和南呂當與太蔟姑洗相和亦不相和黄鍾正半二音全不相應而甚疑焉或至終夜不寢以思其故久而悟曰律管長者其氣狹而聲高律管短者其氣寛而聲下是以黄鍾折半之管不能復與黄鍾相應而下黄鍾一律也他律亦然大扺正半相較半律雖清而反下正律雖濁而反高豈不以其管短氣寛也哉蓋由圍徑不得自然真理故耳夫律管脩短既各不同則其空圍亦當有異推原其理總而言之不過九分其長之一而為空圍之數若分别而言之縱黍黄鍾長八十一分者則當空圍九分其横黍黄鍾長百寸者則當空圍一寸一分一釐一毫一絲一忽周既有異徑亦隨之面羃積實俱各不同先儒昧於此理一惟以徑三圍九求之其疎失亦甚矣筭律之術擬諸環田周有内周外周徑有内徑外徑古所謂空圍者特指其内周耳非面羃九分也創為九方分之說者後世之穿鑿也且夫筭術之中測圓為難周徑羃積各有真理存乎其間苟不得其自然之理而欲求其精微之數豈可得哉新法九分黄鍾之長以其一為其内周用弦求勾股之術得其外周二十分黄鍾之長以其一為其外徑用弦求勾股之術得其内徑蓋圓中取方方中取圓反復相求則内外周徑自然之數得矣非知天地之造化者其孰能與於此乎韓邦奇曰器與造化通唯律而已黄鍾既定凡天地間之器雖衣服盤盂皆造化之用形而上形而下本一物也明律義凡天下之理皆可通不但為作樂而已太極之理亦不外此周徑相求正法

置所求律積實全數為實以其長若干為法除之即得面羃平圓積置所得平圓積以黄鍾倍律一尺八寸乘之以測圓總率一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纖有奇為法除之得數為實開平方法除之即得内徑仍置面羃平圓積四因為實以所得内徑為法除之即得内周

以内徑自相乘得數二因為實開平方法除之即得外徑

以内周自相乘得數二因為實開平方法除之即得外周

周徑相求捷法

置所求律内周為實以黄鍾半律四寸五分乘之以測圓總率一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纖有奇為法除之即得内徑

置所求律外徑為實以測圓總率一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纖有奇乘之以黄鍾半律四寸五分為法除之即得外周

已上二法極為簡捷即勾股求弦弦求勾股之術得天地方圓自然之理故殊途而同歸筭律之妙至此極矣但絲忽已下有數而無形非目力所察故略之不載