第58章 一堂数学课(1/1)

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“我们在这块黑板上任意点两个点，用尺去经过这两个点就会画出一条线。如果这个线有确定长度，这个就叫线段，如果这个线超过这两个点，落于无穷远处，我称之为直线，直线不是黑板上的线，而是我们想象出来的一条无尽远无穷长的线，它只是我们想象中的一根线。通过经验我知道，在这两个点上穿过的直线，有且只有一条，我无法证明这件事，我想这可以作为一个假设的前提，世间一切图形的原则都要有一些无法证明但是假设可行的前提，我不知道这个应该叫什么。

关于直线，我还有一种假设，就是如果在黑板上有一个点，那么通过这个点的直线，可以有无数条。无数无数条……”张诚说。

关于数学的话题可以有很多，从数学逻辑、数论、代数、函数、数论、微分、积分、图论、概论、统计、动力系统、运筹学等等，扩展开来几乎无穷尽，张诚自己涉猎的数学分支就很庞杂，根本不是停留在咸阳这段时间所能尽数展开的，自己只能从几个简单的公理入手，带入数学逻辑的内容，在这里留下一个基础。

“假如我们想象这个点不在这个黑板之上，而在上下六合之间，也有无数直线穿过这个点。而假如我们想象在六合之间有两个点，那么即便在六合之间，也只有有一根直线穿过这两个点。”张苍在一旁补充。

张诚一愣，旋即明悟。这讨论已经从平面进入到立体领域。眼前这人果然是数学领域的天才。而看着另一面点头赞许的欧冶子渊，这老人果然也是抽象思维的好手。

“应该如张苍大人所说。我们就从这个直线入手，然后如果我们画另外一根直线，如果这根直线和第一条直线上任意两点的垂直距离相等，那么我们就得到了一根平行线。平行线就好像是车轮的两条轨一样——它们的距离相等，但是永远不会相交。那么在黑板上两根直线的关系只有两种，一种是会相交的，一种是不会相交的。这就是平行线和交叉线……”

这种抽象的分类，对两位专家来说，都不算困难，但是这种别开生面的抽象想象，显然对他们来说具有极大的冲击和刺激。两人一边点头一边展开想象。

“然后我发现，两根直线相交的时候，相对的两个角的角度必然相等！”

两人狂点头。两个角相等这件事，看一眼就知道。这无需证明，也很难证明，眼下并没有量角器这种东西，大家无法去测量角度。

“我听说，周天是360之数……”张诚以直线交点为圆心随手画了一个圆，“假设周天角度是360度，那么周天一半就是180度，那么我们就知道，这两个角的和是180度。如果我们有一个工具可以测量角度，我们是不是可以制作一个180度的尺子？”张诚说。

“然后，我假设平行线的同位角是相等的。因为……”

一口气讲完几何学的五大公理，张诚略作停顿，接下来说。在这五个假设之下，可以推演出无数图形和关系。

两个人赞叹不已。虽然这堂课的信息量巨大，但是对两个常年浸淫在数学世界的人来说，理解这些却并不难。张诚在黑板上涂抹演示的时候，并不使用圆规直尺，而是随手画一些线条。这些线条并不准确，甚至有一些变形，但是如果用抽象的方式去想象其中的关系，这些关系又是极清晰的，这里张诚展示的是一种建立在抽象之上、无需介入真实尺度测量的纯粹几何学的思考方式。然后展开了以三角形、矩形为核心的各种作图和测量的运算，所有运算得出的结果都只是几分之几的关系，而不涉及真实的尺度，真正需要的时候，只需要用真实尺度套进去，就可以得到实际的面积、长度等数字。

这种解说的方式，给两位客人留下了深刻的印象。

“最最简单的假设我只有五个，这五个我无法证明，只能想象。如果这五个假设是正确的，或者无法证明它们是错误的，那么我想是否可以称之为先理或者公理？公认的道理？然后在这五个假设之上，一切图形问题都可以用这五个假设做基础进行推演计算。到底能算到多少，我年幼不能尽知……”

张诚一直讲一直讲，很兴奋但也很累。兴奋的是终于有机会和人在知识上做交流，而且这种交流看起来极为容易，你所说的一切对方都能了解。累的是，面对这种理解能力极强的人，你无需停顿，只能一直讲一直讲。

“我所说的一切，自然是在一个平面上发生的。以平面、直线、曲线为基础的图形。那么假如这一切进入到六合之境，会是什么样子的，我就不知道了。”这两个人对平面几何的基础已经完全了解，发展出整套欧几里得几何来，并无困难，而立体几何的相关研究，完全可以借着这两个人的工作展开。这一堂课虽然讲起来很累，也只涉及到五大公理和几个浅显的定理，但是到了有心人眼里，围绕五大公理和这堂课所涉及到的数学逻辑，找到更多的定理毫无困难，充分展开填补完善欧几里得几何学的每一个角落，只是时间问题，好在这两个人精力旺盛、理解能力强大，欧冶子渊又有无数徒子徒孙，完成这些工作，想必并无困难。

听这堂课的两个个人，其实也很辛苦。虽然张诚所讲，对两人来说很容易理解，但是在这些符号之间跳来跳去，跟得上这种表述，仍然有些吃力。同时随着这些图形的展开，两个人自然想象到更多的图形关系，头脑中庞杂无比的那些图形，才是真正消耗两个人精力和体力的东西。张诚终于停下来的时候，两个人也深深呼出一口气。

“受教！”两个人齐齐行礼，欧冶子渊忽然问：“这个黑板是何人所制？”